jax.scipy.linalg.polar#

jax.scipy.linalg.polar(a, side='right', *, method='qdwh', eps=None, max_iterations=None)[原始碼]#

計算極分解。

給定 \(m \times n\) 矩陣 \(a\)，傳回極分解的因子 \(u\) (也是 \(m \times n\)) 和 \(p\)，使得 \(a = up\) (如果 side 為 "right"；\(p\) 為 \(n \times n\)) 或 \(a = pu\) (如果 side 為 "left"；\(p\) 為 \(m \times m\))，其中 \(p\) 是半正定矩陣。如果 \(a\) 是非奇異矩陣，則 \(p\) 是正定矩陣且分解是唯一的。\(u\) 具有正交列，除非 \(n > m\)，在這種情況下，它具有正交行。

將 \(a\) 的 SVD 寫成 \(a = u_\mathit{svd} \cdot s_\mathit{svd} \cdot v^h_\mathit{svd}\)，我們有 \(u = u_\mathit{svd} \cdot v^h_\mathit{svd}\)。因此，么正因子 \(u\) 可以建構為符號函數應用於 \(a\) 的奇異值；或者，如果 \(a\) 是 Hermitian 矩陣，則應用於特徵值。

存在幾種計算極分解的方法。目前支援兩種方法

  • method="svd":

    計算 \(a\) 的 SVD，然後形成 \(u = u_\mathit{svd} \cdot v^h_\mathit{svd}\)。

  • method="qdwh":

    應用 QDWH (基於 QR 的動態加權 Halley) 演算法。

參數：

  • a (ArrayLike) – \(m \times n\) 輸入矩陣。

  • side (str) – 決定計算右極分解還是左極分解。如果 side 為 "right" 則 \(a = up\)。如果 side 為 "left" 則 \(a = pu\)。預設值為 "right"。

  • method (str) – 決定使用的演算法，如上所述。

  • precision – Precision 物件，指定矩陣乘法精度。

  • eps (float | None) – 最終結果將滿足 \(\left|x_k - x_{k-1}\right| < \left|x_k\right| (4\epsilon)^{\frac{1}{3}}\)，其中 \(x_k\) 是 QDWH 迭代。如果 method 不是 "qdwh"，則忽略。

  • max_iterations (int | None) – 即使不滿足上述條件，迭代也會在此步驟數後終止。如果 method 不是 "qdwh"，則忽略。

傳回值：

一個 (么正, 正定) 元組，其中 么正 是么正因子 (\(m \times n\))，而 正定 是半正定因子。正定 要么是 \(n \times n\) 要么是 \(m \times m\)，具體取決於 side 是 "right" 還是 "left"。

傳回型別：

tuple[Array, Array]

範例

3x3 矩陣的極分解

>>> a = jnp.array([[1., 2., 3.],
...                [5., 4., 2.],
...                [3., 2., 1.]])
>>> U, P = jax.scipy.linalg.polar(a)

U 是么正矩陣

>>> jnp.round(U.T @ U)  
Array([[ 1., -0., -0.],
       [-0.,  1.,  0.],
       [-0.,  0.,  1.]], dtype=float32)

P 是半正定矩陣

>>> with jnp.printoptions(precision=2, suppress=True):
...     print(P)
[[4.79 3.25 1.23]
 [3.25 3.06 2.01]
 [1.23 2.01 2.91]]

原始矩陣可以通過將 U 和 P 相乘來重建

>>> a_reconstructed = U @ P
>>> jnp.allclose(a, a_reconstructed)
Array(True, dtype=bool)